En general, las tangencias tienen por objeto unir circunferencias y rectas mediante
otras circunferencias y rectas.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto O, llamado centro. Esta distancia es el radio de la circunferencia.
Todo radio perpendicular a una cuerda la divide en dos partes iguales, así
como también el arco que ésta subtiende, de donde se deduce que
la mediatriz de una cuerda pasa por el centro.
Las tangencias se fundan en las propiedades siguientes:
1. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia T está
en la línea de centros. (Fig. 1).
Fig. 1
2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia T es
el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente. (Fig.
2).
Fig. 2
La tangente t en un punto T a una circunferencia es la perpendicular al radio
OT. (Fig. 3).
Fig. 3
Sea la dirección d. Por el centro O se traza la perpendicular a la dirección
d, la cual corta la circunferencia en los puntos T1 y T2 de tangencia; por estos
puntos se trazan las tangentes t1 y t2 paralelas a d. (Fig. 4).
Fig. 4
Se toman dos arcos iguales TM y TN; con centro en T y radio TM se traza un arco
y con centro en M y radio MN se traza otro arco; estos dos arcos se cortan en
un punto que unimos al punto T , siendo esta la recta tangente buscada. (Fig.
5).
Fig. 5
Primer procedimiento: (Fig. 6).
Se une el punto exterior P con el centro O y se traza la circunferencia de radio
O-P, la cual corta en T1 y T2 a la dada. Las tangentes t1 y t2 son las rectas
PT1 y PT2.
Fig. 6
Segundo procedimiento: (Fig. 7).
Desde el punto P se trazan dos secantes cualesquiera a la circunferencia; se
unen los puntos A, B, C y D como indica la figura, obteniendo los puntos 1 y
2; la recta 1-2 corta la circunferencia en los puntos de tangencia T1 y T2.
Fig. 7
Los centros de las soluciones han de equidistar de la recta s y del punto P;
por esto, se traza la paralela a la recta s a la distancia r y la circunferencia
de centro P y radio r; los puntos de intersección de ambas, O1 y O2 son
los centros de las soluciones, cuyos puntos de tangencia con s son T1 y T2.
(Fig. 8).
Fig. 8
El centro O estará en la perpendicular a la recta s por P y en la mediatriz
del segmento T-P. (Fig. 9).
Fig. 9
Sobre la perpendicular a la recta r por T, se toma el radio r en los dos sentidos,
teniendo así los puntos O1 y O2, centros de las soluciones. (Fig. 10).
Fig. 10
Sobre la recta O-T, prolongada, se toma el radio a partir de T y se obtienen
los centros O1 y O2 de las soluciones. (Fig. 11).
Fig. 11
Se trazan rectas paralelas a las dadas a una distancia igual al radio r, las
cuales se cortan en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las soluciones. (Fig.
12).
Las circunferencias pedidas son la inscrita y las exinscritas al triángulo
que forman las tres rectas. Sus centros son los puntos de intersección
de las bisectrices de los ángulos interiores y exteriores del triángulo.
(Fig. 13).
Fig. 13
Los centros O1 y O2 son los puntos de intersección de las bisectrices
de los ángulos que forman r y s con la perpendicular a la recta r en
el punto T. (Fig. 14).
Fig. 14
Las circunferencias dadas, de centros O1 y O2, tienen de radios r1 y r2 respectivamente.
Con centro en O2 se traza la de radio r2-r1 y desde O1 se trazan las tangentes
a ella, rectas t'1 y t'2; las rectas paralelas a ellas son las soluciones; los
puntos de tangencia T1, T'1, T2 y T'2 se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares
a las tangentes auxiliares. (Fig. 15).
Fig. 15
Este problema se resuelve como el caso anterior Fig. 15, pero trazando con centro
en O la circunferencia auxiliar de radio R + r.
Fig. 16
Los centros estarán en la mediatriz P-Q. Se prolonga el segmento P-Q
y tenemos en la recta r el punto M que es el centro radical de las circunferencias
que tengan el centro en la mediatriz. Según esto, se traza una circunferencia
auxiliar cualquiera, y desde M se traza la tangente, M-T0; con centro en M y
radio M-T0 se corta a la recta r en los punto T1 y T2 que son los puntos de
tangencia en la recta r; trazando perpendiculares a r por ellos, se obtienen
los centros O1 y O2 de las soluciones. Los puntos P y Q han de estar en el mismo
semiplano.
Fig. 17
Las circunferencias soluciones han de pasar por el punto P y por el P', simétrico
del P respecto de la bisectriz del ángulo que forman las recta r y s.
Toma una circunferencia cualquiera cuyo centro O esté en la bisectriz
y que pase por P y P'; la recta P-P' corta en el punto C a la recta s, desde
C se traza la tangente a la circunferencia auxiliar; con centro en C se lleva
la longitud de la tangente sobre la recta s, teniendo los puntos T1 y T2 de
tangencia de las circunferencias soluciones con la recta s. Las perpendiculares
por T1 y T2 a s, nos dan los puntos O1 y O2 de la bisectriz, centros de las
soluciones.
El punto C tiene la misma potencia respecto de las soluciones y de la auxiliar;
es, por tanto, el centro radical. (Fig. 18).
Fig. 18
Con centro en O1 y O2 se trazan arcos de circunferencia de radio r-r1 y r-r2
respectivamente, los puntos de corte de estos arcos O3 y O4 son los centros
de las circunferencias solución, los unimos con O1 y O2 para calcular
los puntos de tangencia T3, T'3, T4 y T'4. (Fig. 19).
Fig. 19
Se resuelve como el caso anterior pero los arcos de circunferencia trazados
desde O1 y O2 se harán con un radio de r+r1 y r+r2 respectivamente. (Fig.
20).
Fig. 20
Es una mezcla de los dos ejercicios anteriores. Con centro en O1 se traza un
arco de circunferencia de radio r+r1 y desde O2 otro arco de radio r-r2, los
puntos de intersección serán los centros de las circunferencias
solución. (Fig. 21).
Fig. 21