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Tangencias por José Antonio Cuadrado Vicente

Aplicación web

Autor:  José Antonio Cuadrado Vicente


CONSIDERACIONES SOBRE TANGENCIAS:


En general, las tangencias tienen por objeto unir circunferencias y rectas mediante otras circunferencias y rectas.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto O, llamado centro. Esta distancia es el radio de la circunferencia.
Todo radio perpendicular a una cuerda la divide en dos partes iguales, así como también el arco que ésta subtiende, de donde se deduce que la mediatriz de una cuerda pasa por el centro.

Las tangencias se fundan en las propiedades siguientes:
1. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia T está en la línea de centros. (Fig. 1).

Circunferenicas tangentes exteriores
Fig. 1

2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia T es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente. (Fig. 2).

Recta tangente a una circunferenica
Fig. 2


RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T :


La tangente t en un punto T a una circunferencia es la perpendicular al radio OT. (Fig. 3).
Trazado de recta tangente a una circunferencia con el compás
Fig. 3

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCION DADA:


Sea la dirección d. Por el centro O se traza la perpendicular a la dirección d, la cual corta la circunferencia en los puntos T1 y T2 de tangencia; por estos puntos se trazan las tangentes t1 y t2 paralelas a d. (Fig. 4).

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCION DADA
Fig. 4

TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO:


Se toman dos arcos iguales TM y TN; con centro en T y radio TM se traza un arco y con centro en M y radio MN se traza otro arco; estos dos arcos se cortan en un punto que unimos al punto T , siendo esta la recta tangente buscada. (Fig. 5).

TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE ELLA, 
  NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO
Fig. 5

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR P:

Primer procedimiento: (Fig. 6).
Se une el punto exterior P con el centro O y se traza la circunferencia de radio O-P, la cual corta en T1 y T2 a la dada. Las tangentes t1 y t2 son las rectas PT1 y PT2.

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR P

Fig. 6


Segundo procedimiento: (Fig. 7).

Desde el punto P se trazan dos secantes cualesquiera a la circunferencia; se unen los puntos A, B, C y D como indica la figura, obteniendo los puntos 1 y 2; la recta 1-2 corta la circunferencia en los puntos de tangencia T1 y T2.

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR P

Fig. 7

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN UN RADIO r DADO:


Los centros de las soluciones han de equidistar de la recta s y del punto P; por esto, se traza la paralela a la recta s a la distancia r y la circunferencia de centro P y radio r; los puntos de intersección de ambas, O1 y O2 son los centros de las soluciones, cuyos puntos de tangencia con s son T1 y T2. (Fig. 8).
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s, QUE PASAN POR UN PUNTO P Y QUE TIENEN 
  UN RADIO r DADO
Fig. 8



CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA s EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P:


El centro O estará en la perpendicular a la recta s por P y en la mediatriz del segmento T-P. (Fig. 9).

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA s EN UN PUNTO T DE ELLA Y QUE PASA POR UN 
  PUNTO EXTERIOR P

Fig. 9

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA, CONOCIDO EL RADIO r DE LAS SOLUCIONES:


Sobre la perpendicular a la recta r por T, se toma el radio r en los dos sentidos, teniendo así los puntos O1 y O2, centros de las soluciones. (Fig. 10).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r EN UN PUNTO T DE ELLA, CONOCIDO EL 
  RADIO r DE LAS SOLUCIONES

Fig. 10



CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO DE LAS SOLUCIONES:


Sobre la recta O-T, prolongada, se toma el radio a partir de T y se obtienen los centros O1 y O2 de las soluciones. (Fig. 11).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T Y EL RADIO DE 
  LAS SOLUCIONES

Fig. 11

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIENDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES:


Se trazan rectas paralelas a las dadas a una distancia igual al radio r, las cuales se cortan en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las soluciones. (Fig. 12).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN, CONOCIENDO EL 
  RADIO DE LAS SOLUCIONES
Fig. 12

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS:


Las circunferencias pedidas son la inscrita y las exinscritas al triángulo que forman las tres rectas. Sus centros son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores y exteriores del triángulo. (Fig. 13).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS

Fig. 13

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN UNA DE ELLAS:


Los centros O1 y O2 son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos que forman r y s con la perpendicular a la recta r en el punto T. (Fig. 14).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T 
  EN UNA DE ELLAS

Fig. 14


RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS:


Las circunferencias dadas, de centros O1 y O2, tienen de radios r1 y r2 respectivamente. Con centro en O2 se traza la de radio r2-r1 y desde O1 se trazan las tangentes a ella, rectas t'1 y t'2; las rectas paralelas a ellas son las soluciones; los puntos de tangencia T1, T'1, T2 y T'2 se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las tangentes auxiliares. (Fig. 15).

RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
Fig. 15


RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS:


Este problema se resuelve como el caso anterior Fig. 15, pero trazando con centro en O la circunferencia auxiliar de radio R + r.

RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

Fig. 16

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r Y QUE PASAN POR DOS PUNTOS EXTERIORES P Y Q:


Los centros estarán en la mediatriz P-Q. Se prolonga el segmento P-Q y tenemos en la recta r el punto M que es el centro radical de las circunferencias que tengan el centro en la mediatriz. Según esto, se traza una circunferencia auxiliar cualquiera, y desde M se traza la tangente, M-T0; con centro en M y radio M-T0 se corta a la recta r en los punto T1 y T2 que son los puntos de tangencia en la recta r; trazando perpendiculares a r por ellos, se obtienen los centros O1 y O2 de las soluciones. Los puntos P y Q han de estar en el mismo semiplano.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r Y QUE PASAN POR DOS PUNTOS EXTERIORES 
  P Y Q

Fig. 17


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN Y QUE PASEN POR UN PUNTO P DADO:

Las circunferencias soluciones han de pasar por el punto P y por el P', simétrico del P respecto de la bisectriz del ángulo que forman las recta r y s. Toma una circunferencia cualquiera cuyo centro O esté en la bisectriz y que pase por P y P'; la recta P-P' corta en el punto C a la recta s, desde C se traza la tangente a la circunferencia auxiliar; con centro en C se lleva la longitud de la tangente sobre la recta s, teniendo los puntos T1 y T2 de tangencia de las circunferencias soluciones con la recta s. Las perpendiculares por T1 y T2 a s, nos dan los puntos O1 y O2 de la bisectriz, centros de las soluciones.
El punto C tiene la misma potencia respecto de las soluciones y de la auxiliar; es, por tanto, el centro radical. (Fig. 18).

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN Y QUE PASEN POR 
  UN PUNTO P DADO

Fig. 18


TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES INTERIORES A OTRAS DOS DADAS:


Con centro en O1 y O2 se trazan arcos de circunferencia de radio r-r1 y r-r2 respectivamente, los puntos de corte de estos arcos O3 y O4 son los centros de las circunferencias solución, los unimos con O1 y O2 para calcular los puntos de tangencia T3, T'3, T4 y T'4. (Fig. 19).
TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES INTERIORES A OTRAS DOS 
  DADAS
Fig. 19


TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES EXTERIORES A OTRAS DOS DADAS:


Se resuelve como el caso anterior pero los arcos de circunferencia trazados desde O1 y O2 se harán con un radio de r+r1 y r+r2 respectivamente. (Fig. 20).

TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES EXTERIORES A OTRAS DOS 
  DADAS

Fig. 20

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES EXTERIORES A O1 E INTERIORES A O2:


Es una mezcla de los dos ejercicios anteriores. Con centro en O1 se traza un arco de circunferencia de radio r+r1 y desde O2 otro arco de radio r-r2, los puntos de intersección serán los centros de las circunferencias solución. (Fig. 21).

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO CONOCIDO TANGENTES EXTERIORES A O1 E INTERIORES A 
  O2

Fig. 21