Tangencias por José Antonio Cuadrado Vicente

Aplicación web

Autor: José Antonio Cuadrado Vicente

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA:

Se llama potencia de un punto P respecto de una circunferencia, situados en un mismo plano, al producto de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección con la circunferencia de una secante trazada por P.
Potencia = PA1 x PA2 = PB1 x PB2

La propiedad fundamental de la potencia de un punto respecto de una circunferencia es que es independiente de la secante elegida, ya que si se unen los puntos A1 y B2, y A2 y B1, se forman los triángulos PA1B2 y PA2B1, que son semejantes, puesto que los ángulos en P coinciden y los ángulos en A2 y B2 son iguales por estar inscritos en el mismo arco A1B1 (arco capaz).
Secantes a una circunferencia desde un punto exterior P

Comprobada la independencia de la secante elegida, para calcular el valor de la potencia se puede utilizar la que pasa
por el centro de la circunferencia. Llamado r al radio y d a la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia, el valor de la potencia viene dado por:
Potencia = d2 - r2
Potencia = PA1 x PA2 = (d - r) x (d + r) = d2 - r2

Recta que une el punto P con el centro de la circunferencia
Para el centro de la propia circunferencia, la potencia es mínima y vale -r, ya que d2 = 0; para los restantes puntos, la potencia crece al aumentar d, pasando por cero para los puntos de la propia circunferencia y llegando a valores infinitos positivos cuando el punto se aleja indefinidamente.
La expresión de la potencia d2 - r2 indica claramente la posición del punto P respecto de la circunferencia, pues cuando es exterior a ella, d > r y d2 - r2 > 0, con lo que la potencia es positiva; y cuando es interior, d < r y d2 - r2 < 0, con lo que la potencia es negativa. Cuando P está sobre la circunferencia, la potencia es nula, d = r y d2 - r2 = 0.

Imagen que muestra una secante y la tangente desde P

Cuando el punto P es exterior a la circunferencia la tangente t puede considerarse como la posición límite de una secante, y el punto T como posición límite común de las intersecciones A1 y A2; en estas condiciones la potencia es:
Potencia = PA1 x PA2 = PT x PT = PT2
esto es, el cuadrado del segmento de tangente a la circunferencia trazada desde P y comprendido entre P y el punto de tangencia T.