Tangencias por José Antonio Cuadrado Vicente
Aplicación web
Autor: José Antonio Cuadrado Vicente
EJE RADICAL:
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los
puntos del plano que las contiene que tienen la misma potencia (variable para
cada punto) respecto de ambas.
La potencia de P respecto de una de las circunferencias es (d21 - r21), y respecto
de la otra (d22 - r22). Como, por definición, éstas han de ser
la misma, se tiene:
d21 - r21 = d22 - r22 = k.
El lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de cuadrados
de distancias a otros dos fijos es constante, es una recta perpendicular a la
que une los dos puntos fijos, por lo tanto, el eje radical de dos circunferencias
es una recta perpendicular a la recta que une los centros.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES:
Los puntos de intersección de las dos circunferencias, tienen la misma potencia respecto de ambas: potencia nula por pertenecer a ellas. Por tanto, basta trazar la recta que los une, que de nuevo resulta perpendicular a la recta de los centros.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES O EXTERIORES:
El eje radical es la tangente común a ambas circunferencias, pues cualquier punto de ella, P, tiene la misma potencia respecto de ambas, medida en las dos por el cuadrado de PT. Es perpendicular a la línea de centros, pues es perpendicular a los radios.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES:
Para trazar el eje radical a dos circunferencias exteriores nos auxiliamos de otra secante a ambas, trazamos el eje radical de esta con cada una de ellas y por el punto de intersección de los dos ejes trazamos una perpendicular a la línea de centros que será el eje radical buscado. Si las circunferencias exteriores tienen el mismo radio, el eje radical será la mediatriz de la línea de centros.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS, UNA INTERIOR A OTRA:
Se resuelve igual que el caso anterior trazando una circunferencia auxiliar
O3 que corte a las otras dos.
CENTRO RADICAL A TRES CIRCUNFERENCIAS:
El punto O tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias y
se llama centro radical y su existencia es general cuando se dan tres circunferencias.
La determinación del centro radical es inmediata. Se trazan dos ejes
radicales y se halla su intersección. Naturalmente, el tercer eje pasará
por él.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS, UNA DE ELLA DE RADIO = 0 (un punto):
Nos auxiliamos de una tercera circunferencia O3 que pase por O2 y sea secante
a O1 y calculamos el eje radical de O3 con O1 y O2. El eje radical de las circunferencias
O3 y O2 se calcula como el de dos circunferencias tangentes exteriores, donde
una de ellas tiene radio 0, el eje radical pasará por el punto de tangencia
y será perpendicular a la línea de centros. Por el punto de intersección
de los dos ejes radicales se traza una perpendicular a la línea de centros
de O1 y O2.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS:
Si dos circunferencias O1, O2 son concéntricas y se intenta hallar un
punto P de su eje radical utilizando una circunferencia auxiliar O3, los ejes
E1 y E2 serán paralelos y su intersección P se aleja hasta el
infinito.
